Estudio de un modelo cinético de gas granular confinado casi-bidimensionalmente

Abstract

En esta tesis se analiza, mediante el uso combinado de herramientas analíticas y de simulación, la validez de un modelo cinético formulado para el estudio analítico de un medio granular con finado casi-bidimensionalmente. Como se comenta en la primera parte de la tesis, los medios granulares, debido a la disipación de energía en las colisiones entre granos, son un ejemplo de sistema fuera del equilibrio que ha sido ampliamente utilizado en el desarrollo de la física estadística de no equilibrio. En el segundo capítulo se hace una exposición general de los distintos comportamientos que muestran los medios granulares experimentalmente, haciendo especial hincapié en los medios granulares fluidizados, aquellos en los que se suministra energía a las partículas de forma continua para que se alcance un estado estacionario con una energía cinética no nula. Dentro de los medios granulares fluidizados nos centramos en medios vibrados de partículas idénticas, en los que éstas ganan energía en las colisiones con las paredes que con finan al sistema, con finadas entre dos paredes que se encuentran separadas una distancia menor que dos veces el diámetro de los granos, de modo que estos no pueden ocupar la misma posición en el plano perpendicular al vibrado, de ahí el nombre casi-bidimensional. Estos sistemas han demostrado experimentalmente una gran riqueza de comportamientos entre los que destaca la aparición de distintas fases dependiendo de parámetros del sistema tales como la densidad o la aceleración del vibrado. Para realizar un estudio analítico de este tipo de sistemas utilizamos principalmente la ecuación de Boltzmann, una ecuación integro-diferencial de teoría cinética que proporciona la evolución de la función de distribución de un sistema de partículas introduciendo los efectos de las colisiones entre ellas. Esta ecuación resulta ser en general matemáticamente complicada por lo que, a fin de evitar el tener que introducir las condiciones de contorno de las paredes vibrantes, el modelo efectivo que estudiamos busca introducir el efecto del vibrado alterando la regla de colisión entre partículas, de modo que solo es necesario estudiar la dinámica en las direcciones perpendiculares al vibrado. De este modo, en el tercer capítulo de la tesis obtenemos, a partir de la ecuación de Liouville, la ecuación de Boltzmann para este sistema efectivo. A partir de ella se derivan las ecuaciones de balance macroscópico para los campos de densidad, velocidad y temperatura, que estudiamos mediante el método de Chapman-Enskog. Este método desarrolla dichas ecuaciones de balance en distintos órdenes en los gradientes, de modo que comenzamos estudiando el sistema homogéneo y obtenemos una caracterización del estado estacionario que alcanza el sistema la cual comparamos posteriormente con resultados obtenido mediante simulación del sistema efectivo. En el siguiente capítulo se estudian la hidrodinámica homogénea así como efectos de memoria que presenta el sistema comparando los resultados con datos obtenidos a partir de simulaciones del sistema vibrado tridimensional. Por último en el quinto capítulo se estudia la hidrodinámica en primer orden en los gradientes obteniendo las ecuaciones de Navier-Stokes y expresiones analíticas para los coefi cientes de transporte. Con ellas realizamos un análisis de la estabilidad de la hidrodinámica homogénea buscando un comportamiento inestable que nos indique que el sistema se vuelve inhomogéneo como se observa experimentalmente. El resultado es sin embargo negativo pues el sistema resulta ser siempre estable, alcanzando fi nalmente el estado estacionario homogéneo que se estudió en el capítulo tres. Por último, en vista de los resultados obtenidos, en el sexto y último capítulo se realizan simulaciones del sistema tridimensional vibrado con la diferencia de que introducimos una partícula de masa superior al resto a la que denominamos intruso. En este sistema vemos cómo, dependiendo de la densidad media de partículas, pueden surgir inestabilidades que llevan al sistema a un estado estacionario inhomogéneo. Con este estudio buscamos encontrar el origen dinámico de las inestabilidades y analizar los cambios que son necesarios introducir en la regla de colisión efectiva para que esta reproduzca correctamente el comportamiento macroscópico del sistema confinado casi-bidimensionalmente.