Diseño óptimo de experimentos para modelos de mezclas aplicados en la ingeniería y las ciencias experimentales

Resumen

El presente trabajo tiene como objetivo determinar estrategias de construcción de diseños óptimos en problemas de experimentos con mezclas, en los que las variables controlables por el experimentador son proporciones. Para este propósito se han desarrollado herramientas teóricas y numéricas para resolver diferentes situaciones reales en las que surgen este tipo de problemas. A continuación exponemos de manera resumida los principales objetivos y contribuciones de la memoria. El capítulo 1 introduce la finalidad del diseño óptimo de experimentos y presenta las motivaciones por las que surge. Se establecen formalmente las bases sobre las que se construye esta teoría y se exponen conceptos, notaciones y resultados fundamentales sobre los que se apoya. Se definen los principales criterios de optimización, con especial énfasis sobre los criterios de D- e I-optimización, que serán los de mayor interés para el desarrollo de esta memoria. La segunda parte de este capítulo introduce una importante herramienta en la teoría de diseño óptimo, la derivada direccional de una función criterio. Se proporciona también el teorema fundamental del diseño óptimo de experimentos, el teorema general de equivalencia, además de otros resultados fundamentales. El capítulo concluye con la extensión de esta teoría para modelos no lineales. El capítulo 2 comienza justificando la necesidad de desarrollar métodos numéricos para el cálculo de soluciones aproximadas. A continuación se realiza una revisión bibliográfica de las técnicas algorítmicas más utilizadas en la literatura: el algoritmo Wynn-Fedorov y el algoritmo multiplicativo. El primero de los resultados desarrollados en este trabajo es un nuevo algoritmo para el cálculo de diseños óptimos aproximados: el Algoritmo Combinado. Aunque puede aplicarse para cualquier función criterio, la convergencia ha sido probada para D-optimización. La eficacia del nuevo algoritmo se muestra a lo largo de diferentes ejemplos. El capítulo 3 se dedica al estudio de los experimentos con mezclas. El capítulo comienza definiendo este tipo de problemas y la región de diseño donde tienen sentido, el simplex. A continuación se describen los diseños de mezclas estándar que han recibido mayor atención en la literatura, así como los modelos más utilizados para explicar este tipo de comportamientos. En particular, se hace especial hincapié sobre los polinomios canónicos de Scheffé. La última sección es una revisión de los trabajos más destacados sobre diseños óptimos para modelos de mezclas. El capítulo 4 comienza justificando la necesidad de desarrollar técnicas generales para resolver problemas de diseño óptimo en experimentos con mezclas. En este trabajo se proponen dos algoritmos para la construcción de diseños D-óptimos exactos en este tipo de problemas. El primero de ellos consiste en extender el algoritmo multiplicativo para una clase de diseños restringidos, los diseños de permutación. Este nuevo algoritmo permite resolver problemas de mezclas considerando modelos no lineales, aunque no permite abordar problemas de mezclas con restricciones. Como alternativa heurística se propone otro método, basado en algoritmos genéticos, capaz de obtener soluciones en problemas restringidos que también puede utilizarse para modelos no lineales. El desarrollo de técnicas de construcción de los diseños óptimos para esta clase de modelos no han sido estudiados en la literatura en este contexto. Varios ejemplos que surgen en la industria farmacéutica, química y petroquímica ilustran los resultados obtenidos por las nuevas metodologías. El capítulo 5 contiene diferentes estrategias para la construcción de diseños D- e I-óptimos robustos exactos y continuos para modelos de mezclas. El desarrollo de estas estrategias viene motivado por el ejemplo que aparece en Hernández et al. (2008) en el que se busca la composición óptima de un sucedáneo que simule al diésel en el autoencendido bajo condiciones de motor HCCI. El uso de la metodología desarrollada en este capítulo permite abordar la falta de especificidad del modelo que presenta este problema. En primer lugar se analizó el problema de mezclas binaras y se obtuvieron resultados teóricos que permitieron obtener la expresión analítica de los diseños D-óptimos. Para más de dos ingredientes, se proporciona un algoritmo general basado en algoritmos genéticos, ya que no es posible tratar el problema de manera analítica. Por otro lado, se propone una nueva familia de diseños restringidos, los diseños intercambiables, que presentan buenas propiedades como generadores de los diseños óptimos robustos. El capítulo 6 es una síntesis de los resultados y aportaciones obtenidas a lo largo de la realización de este trabajo. En la última parte se presenta una discusión sobre las líneas de investigación futuras.