Diffeomorphic transformations for time series analysis: an efficient approach to nonlinear warping

Resumen

La proliferación y ubicuidad de los datos temporales en diversas disciplinas ha despertado un gran interés por los métodos de similitud, clasificación y agrupación diseñados específicamente para manejar series temporales. Uno de los principales desafíos al tratar con este tipo de datos es determinar su similitud. Las medidas de distancia tradicionales, como la euclídea, resultan inadecuadas debido a la naturaleza temporal de los datos. Métricas elásticas como la deformación temporal dinámica (DTW) ofrecen un enfoque correcto, pero están limitadas por su complejidad computacional, no diferenciabilidad y sensibilidad al ruido. Esta tesis propone nuevos métodos de alineación elástica que emplean transformaciones de deformación paramétricas y difeomórficas para superar las limitaciones de las métricas basadas en DTW. El método propuesto es diferenciable e invertible, lo que lo hace adecuado para arquitecturas de aprendizaje profundo. Además, es robusto frente al ruido, computacionalmente eficiente y lo suficientemente expresivo y flexible como para capturar patrones complejos. Asimismo, se ha desarrollado una solución cerrada para el cálculo del gradiente de estas transformaciones difeomórficas, lo que permite una búsqueda eficiente en el espacio de parámetros y conduce a mejores soluciones en convergencia. Aprovechando los beneficios de estas transformaciones difeomórficas de forma cerrada, esta tesis propone un conjunto de avances que incluyen: (a) un transformador temporal vitaminado para la alineación y promediado de series temporales, (b) un modelo de clasificación de series temporales basado en aprendizaje profundo para alinear y clasificar simultáneamente señales con alta precisión, (c) un algoritmo incremental de agrupación de series temporales que es invariable a la deformación, escalable y puede funcionar con recursos computacionales limitados, y finalmente, (d) un modelo de flujo normalizador que mejora la flexibilidad de las transformaciones afines en las capas de acoplamiento y autorregresivas. En conjunto, estos avances demuestran la versatilidad y el potencial de las transformaciones difeomórficas en forma cerrada para diversas aplicaciones relacionadas con las series temporales. En resumen, esta tesis pretende mejorar tareas como la alineación, el promediado, la clasificación y la agrupación de series temporales aprovechando la potencia y eficiencia de los métodos paramétricos de deformación difeomórfica.